Hintergründe:Taylor-Formel
Verfasst: 23. Mai 2010, 04:59
Mittels Taylor-Formel lassen sich also Funktionen annähern. Um das zu tun, müssen wir aber noch ein paar Aussagen über unsere anzunähernde Funktion treffen.
Schauen wir uns zunächst die Taylor-Formel an. Darin erkennen wir, worüber Aussagen zu treffen sind.
Die Funktion f(x) setzt sich zusammen aus dem Taylorpolynom T(x) und einem Fehler- bzw. Restglied [R(x)].
Das Taylorploynom lässt sich also beschreiben als Summenfolge der ersten n Ableitungen in der Entwicklungstelle x_0 durch einen Ausdruck k! geteilt und mit einem Ausdruck (x-x_0)^k multipliziert und dann zu der n+1-ten Ableitung and der Stelle c durch einen Ausdruck (n+1)! geteilt und mit einem Ausdruck (x-x_0)^(n+1) multipliziert
f^(k)(x) bezeichnet die k. Ableitung der Funktion f(x)
Der Ausdruck k! bezeichnet die Fakultät von k. Das heißt eine Zahl die mit all ihren ganzzahligen Vorgängern multipliziert wird. Z.B. 5!=1*2*3*4*5=120
Ein Sonderfall ist die 0.
Hier gilt: 0!=1
(x-x_0)^k ist der Abstand von der Entwicklungsstelle x_0 zu der Variablen x(die Phase) mit dem Exponenten k.
Je weiter der Abstand zur Entwicklungsstelle, desto größer ist die Abweichung. Daher spricht man von einer Annäherung in einer lokalen Umgebung um die Stelle x_0.
Je größer n desto höher ist die Genauigkeit der Annäherung, und desto kleiner ist das Restglied.
Das Restglied setzt sich genau so zusammen wie das Taylorpolynom, jedoch wird an der Stelle c abgeleitet.
Außerdem wird dieser Term nicht mit in die Summenformel geschrieben.
Die Stelle c existiert zwischen x und x_0 mindestens ein Mal. Die Steigung der Tangente an der Stelle f(c) ist gleich der Steigung der Sekante durch f(x) und f(x_0). Für die Annäherung interessiert uns aber nur das Taylorpolynom. Das Fehlerglied zeigt nur, dass ein gewisser Fehler da ist und das Taylorpolynom zu der Funktion f(x) ergänzt.
Es gilt also : Aber das sind nur ein paar Hintergründe. Um anzunähern benötigen wir zunächst die Funktionswerte der Ableitungen in einer frei gewählten Entwicklungsstelle x_0.
Schauen wir uns zunächst die Taylor-Formel an. Darin erkennen wir, worüber Aussagen zu treffen sind.
Die Funktion f(x) setzt sich zusammen aus dem Taylorpolynom T(x) und einem Fehler- bzw. Restglied [R(x)].
Das Taylorploynom lässt sich also beschreiben als Summenfolge der ersten n Ableitungen in der Entwicklungstelle x_0 durch einen Ausdruck k! geteilt und mit einem Ausdruck (x-x_0)^k multipliziert und dann zu der n+1-ten Ableitung and der Stelle c durch einen Ausdruck (n+1)! geteilt und mit einem Ausdruck (x-x_0)^(n+1) multipliziert
f^(k)(x) bezeichnet die k. Ableitung der Funktion f(x)
Der Ausdruck k! bezeichnet die Fakultät von k. Das heißt eine Zahl die mit all ihren ganzzahligen Vorgängern multipliziert wird. Z.B. 5!=1*2*3*4*5=120
Ein Sonderfall ist die 0.
Hier gilt: 0!=1
(x-x_0)^k ist der Abstand von der Entwicklungsstelle x_0 zu der Variablen x(die Phase) mit dem Exponenten k.
Je weiter der Abstand zur Entwicklungsstelle, desto größer ist die Abweichung. Daher spricht man von einer Annäherung in einer lokalen Umgebung um die Stelle x_0.
Je größer n desto höher ist die Genauigkeit der Annäherung, und desto kleiner ist das Restglied.
Das Restglied setzt sich genau so zusammen wie das Taylorpolynom, jedoch wird an der Stelle c abgeleitet.
Außerdem wird dieser Term nicht mit in die Summenformel geschrieben.
Die Stelle c existiert zwischen x und x_0 mindestens ein Mal. Die Steigung der Tangente an der Stelle f(c) ist gleich der Steigung der Sekante durch f(x) und f(x_0). Für die Annäherung interessiert uns aber nur das Taylorpolynom. Das Fehlerglied zeigt nur, dass ein gewisser Fehler da ist und das Taylorpolynom zu der Funktion f(x) ergänzt.
Es gilt also : Aber das sind nur ein paar Hintergründe. Um anzunähern benötigen wir zunächst die Funktionswerte der Ableitungen in einer frei gewählten Entwicklungsstelle x_0.